a: ΔEBC vuông tại E

mà EM là trung tuyến

nên EM=BC/2

ΔDBC vuông tại D

mà DM là trung tuyến

nên DM=BC/2

=>DM=EM

=>ΔMED cân tại M

b: Gọi F là trung điểm của HK

Xét hình thang BHKC có

M,F lần lượtlà trung điểm của BC,HK

nên MF là đường trung bình

=>MF//BH//CK

=>MF vuông góc HK

ΔMED cân tại M

mà MF là đường cao

nên F là trung điểm của ED

FE+EH=FH

FD+DK=FK

mà FE=FD; FH=FK

nên EH=DK

c) Xét ΔKAN vuông tại K và ΔQAN vuông tại Q có 

AN chung

\(\widehat{KAN}=\widehat{QAN}\)

Do đó: ΔKAN=ΔQAN(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AK=AQ(hai cạnh tương ứng) 

a) Xét ΔAHB và ΔAHC có 

AB=AC(ΔBAC cân tại A)

AH chung

BH=CH(H là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AH\(\perp\)BC tại H

b) Xét ΔADM và ΔBHM có 

\(\widehat{DAM}=\widehat{HBM}\)(hai góc so le trong, AD//BH)

MA=MB(M là trung điểm của AB)

\(\widehat{AMD}=\widehat{BMH}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔADM=ΔBHM(g-c-g)

Suy ra: AD=BH(hai cạnh tương ứng)

mà AD=12cm(gt)

nên BH=12cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=20^2-12^2=256\)

hay AH=16(cm)

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

=>góc AFE=góc ACB

=>ΔAFE đồng dạng với ΔACB

b: MF/MB=HF/HB

NE/NC=HE/HC

Xét ΔHFE và ΔHBC có

góc HFE=góc HBC

góc FHE=góc BHC

=>ΔHFE đồng dạng với ΔHBC

=>HF/HB=HE/HC

=>MF/MB=NE/NC

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\)

\(\widehat{A}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta ACF\left(gn\right)\)

b) Vì \(\Delta ABE\sim\Delta ACF\)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\left(1\right)\)

Theo bài ra, ta có: AB // d

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BED}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\widehat{ACF}=\widehat{BED}\)

Xét \(\Delta HED\) và \(\Delta HEC\) có:

\(\widehat{BED}=\widehat{ACF}\)

\(\widehat{EHC}\) chung

\(\Rightarrow\Delta HED\sim\Delta HEC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HC}{HE}\)

\(\Leftrightarrow HE^2=HD.HC\)